Вероятность наступления события
Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ – в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.
Вероятность суммы несовместных событий
Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.
От размышлений о вечном до теории вероятностей
Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А – попадание в мишень в первой попытке, В – во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:
Моя бабушка считает: в Албании убивают на каждом шагу. Хотя в стране она не была и новостей о не слышала: ей так кажется интуитивно. Наверняка и вы не раз испытывали подобное чувство. Оно называется интуитивное знание – внутреннее убеждение, что собственная оценка более правдива, чем официальные источники и статистика.
Я не станут грузить вас сложными формулами – желающие углубленно заняться тервером могут сделать это по книге В. Е. Гмурмана «Теория вероятностей и математическая статистика». В статье покажу простые примеры для понимания зависимых и независимых событий, расскажу о состоянии неопределенности и интуитивном знании.
Вероятность в зависимых событиях
Теперь соберем данные в таблицу (таблица 1). Всего — 9 исходов. Отметим положительные (курьеру откроет друг) – их 3. Получается, что вероятность с первого раза позвонить в дверь к нужному человеку – 3/9 или 1/3. Если вам нравится видеть вероятность в процентах, умножьте результат на 100%.
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B1, B2, . Bn, вероятности появления которых P(B1), P(B2), . P(Bn). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B1, B2, . Bn, которые называются гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности: если событие А произошло — это может изменить вероятности гипотез P(B1), P(B2), . P(Bn).
Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!
Основные понятия
Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других?
НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Александр
02 июля 2020
Если предположить, что задача решается, как с монеткой, то речь идет о выпадении четвертого раза одного из двух вариантов подряд, нет? То есть вероятность вытащить красный карандаш, как описано в примере выше — 50%, вытащить второй раз подряд красный карандаш — 25%, вытащить третий раз подряд красный карандаш — 12,5%. соответственно вероятность вытащить четвертый раз подряд красный карандаш — 6,25%, нет? P.S. С бесконечными карандашами странная аналогия — проще представить казино — красное и черное) Какова вероятность в казино, поставив четыре раза подряд на красное — выиграть?)
Полная вероятность
\left( 4+4+4+4 \right)\), а значит вероятность первой картой вытащить «картинку»:
\( \displaystyle <_<1>>=\frac<16><52>=\frac<4><13>\)
Поскольку мы убираем из колоды первую карту, то значит в колоде осталось уже \( 51\) карта, из них \( 15\) картинок. Вероятность второй картой вытащить картинку:
\( \displaystyle <_<2>>=\frac<15><51>\)
Поскольку нас интересует ситуация, когда мы достаем из колоды: «картинку» И «картинку», то нужно перемножать вероятности:
\( \displaystyle p=\frac<4><13>\cdot \frac<15><51>=\frac<60><13\cdot 51>=\frac<60><663>=\frac<20><221>\)
Ответ: \( \displaystyle \frac<20><221>\)
Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности.
Формулу (1.1) используют для непосредственного вычисления вероятностей событий только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев. На практике часто классическое определение вероятности неприменимо по двум причинам: во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев должно быть конечно. На самом же деле оно зачастую не ограничено. Во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.
Элементы комбинаторики
В теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания. Если дано множество , то размещением (сочетанием) из элементов по называется любое упорядоченное (неупорядоченное) подмножество элементов множества . При размещение называется перестановкой из элементов.
Пусть задано вероятностное пространство и определенная на нем случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается .
Функция распределения в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.
Ответы на частые вопросы
Центральные предельные теоремы — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.
12 Фев 2021 marketur 103